Uzayın ve uzayda tasarlanabilen biçimlerin, kurallara uyularak incelenmesini konu alan matematik dalı. Yunanca «ge», yer ve «metron», ölçüden. Geometri Nil kıyılarında doğdu. Bu ırmağın düzenli aralıklarla taşması, tarlaların sınırlarını siliyor, Mısırlıları güç sorunlarla karşı karşıya bırakıyordu: çünkü tarlaların sınırlarını yeniden çizmek, herkese kendi yerini vermek, bunun için de tarlaların yüzölçümünü hesaplamak, nirengiler dikmek, kısacası, geometri yapmak gerekiyordu.
Doğru Kavramının Anlaşılması İçin
insanlara, yer ölçümüne ilişkin somut sorunları çözümleme olanağını veren geometriden, giderek soyut bir geometri doğdu. Böylece aynı kavramın değişik durumlara uygulanabileceği anlaşıldı. Sözgelimi, deniz üzerindeki ufuk çizgisiyle çekülün gergin ipi arasında hiç bir maddi ortaklık yoktur; ama ikisi de geometride doğru adı verilen kavramı belirtir; doğru kavramı, ancak bunun gibi somut örneklere bakılarak anlaşılabilecek bir kavramdır.
Bir kâğıdın üstüne çizilen düz bir çizgi, doğru hakkında yaklaşık bir fikir verir. Oysa doğru, sınırlı değildir (çizgi ise yaprağın kenarında biter) ve doğrunun kalınlığı yoktur (çizginin ise ne kadar ince çizilmiş olursa olsun, bir kalınlığı vardır). Bunun gibi, bir topa, bir küreye bakılarak küre kavramı hakkında bir fikir sahibi olunabilir.
Eukleides’in Aksiyomları ve Teoremleri
İskenderiyeli bir Yunan bilgini olan Eukleides, M.Ö. III. yy .da geometri hakkında ilk mükemmel kitabı yazdı. Eukleides o zamanki kitaplarında (bunlar somut sorunların çözümünü gösteren basit «reçete» derlemeleriydi) farklı bir açıdan bakarak, öne sürdüğü sonuçları, kesin kanıtlara başvurma yoluyla kanıtlamak istiyordu.
Bunun için önce, sezgiye dayanan birtakım kavramlar (nokta, doğru, düzlem) kabul etti (aksiyom), sonra doğru sandığı, ama doğruluğunu kanıtlayamadığı birtakım gerçekleri belirledi (bütün, parçadan daha büyüktür; üçüncü bir niceliğe eşit olan iki nicelik birbirine de eşittir) [postulat]. Bu aksiyom’larla postülat’lara dayanılarak geometri teorem’leri kurulur.
Kuşkusuz Eukleides, aksiyomlarının doğruluğunu kanıtlayamazdı, ama ona ve çağdaşlarına göre bunlar, tartışma götürmez gerçeklerdi. Sözgelimi, dik açı konusunda kesin bir yargıya varabiliyordu, çünkü gerçek hayatta, deniz üzerindeki ufuk çizgisiyle, elindeki bir çekülün yaptığı dik açıyı gözleriyle görebiliyordu.
Eukleides geometrisi, üstünde yaşadığımız dünyayı anlamak için mükemmel bir araçtır; bu geometri, bilim ve tekniğin ilerlemesinde önemli bir etken olmuştur.
Eukleides Dışı Geometriler
Eukleides aksiyomlarının kesinliği, XIX. yy .dan itibaren tartışılmağa başladı. Alman matematikçisi Riemann ve Rus matematikçisi Lobaçevski, Eukleides aksiyomlarının tam karşıtı olan aksiyomlardan işe başladılar. Böylece ilk bakışta hiç bir pratik yararı yokmuş gibi görünen değişik geometriler (Eukleides dışı geometriler) doğdu. Ve bu yeni geometriler o zamandan beri birçok alanda (nükleer fizik, astronotik v.b.) işe yaradı (Einstein bunlar sayesinde bağıllık kuramını kurabildi).
Cebir tekniklerinin geometriye uygulanması, noktaları sayılara veya koordinatlara bağlayarak bütün eğrileri hesaplamak ve saptamak olanağı sağlayan analitik geometri’yi doğurdu (Descartes).
Rönesans Ressamları ve Tasarı Geometri
Tasarı geometri’de, uzay geometrinin şekilleri veya öğeleri, tam ve aslına uygun biçimde bir düzleme (üzerine şekil çizilen kâğıt) aktarılır. Rönesans’ın büyük ressam ve mimarları tasarı geometriden yararlanmışlarsa da, onu gerçek bir matematik sistemi haline getiren (temel geometri, kaba perspektif), matematikçi Monge olmuştur.
İzdüşüm geometrisi (bir şeklin herhangi bir noktasını esas alarak tümünü bir düzleme izdüşümle aktarmak), resim ve süsleme sanatı için de çok önemlidir. Ama asıl yeri, aksiyomları ve ilişkileri bakımından izdüşüm geometrisi, matematiğin bir dalıdır.
Saf (Katıksız) Geometri
Geometride, her yerde geçerli kesin belirlemeler giderek azalmakta, başlangıç aksiyomları artık sadece belirli bir geometri için doğru sayılmaktadır. Burada gerçek olan başka bir yerde yanlış olabilir. Her şeye rağmen, maddi gerçeklerin incelenmesinde uygulamalı geometrinin sağladığı olanaklar sonsuzdur.
Yüzölçümü hesaplanmak istenen bir tarlanın çizgisel taslağından tutun da gökcisimlerinin yörüngelerinin saptanmasına, haritalara, planlara, coğrafyada kullanılan ölçeklere, makine yapımına, mimarlığa varıncaya kadar, geometri bilgisinin mutlaka gerekli olduğu alan pek çok ve geniştir.
Bununla birlikte, matematik çalışmaları daha ileriyi, uzak geleceği de göz önünde tutar. Hemen yararlanma kaygısına kapılmadan yapılan matematik araştırmalar saymakla bitmez. Bu çalışmalar, doğruluğu mevcut koşullara bağlı olmayan kusursuz örnekler yaratma amacı güder. Saf geometrinin esası budur.
Thales
Ünlü bir bilgin ve filozof olan (Yunanistan’ın Yedi Bilge’sinden biridir) Miletoslu Thales (M.Ö. 640-562), düzlem geometrinin ilk teoremlerini hazırladı. Thales, bir yapının yüksekliğini, onun gölgesini ölçerek hesaplayabiliyordu.
Pithagoras
«Birdik üçgende, hipotenüs (dik açının karşısındaki kenar) üzerine kurulan kare öteki iki kenar üzerine kurulan karelerin toplamına eşittir»: bu teoremi M.Ö. VI. yy.da yaşamış ünlü Yunan filozof ve matematikçisi Pithagoras bulmuştur. Çarpım tablosunu ve telli çalgılarda gamı icat eden de odur.
Monge
Tasarı geometrinin yaratıcısı ve analitik geometrinin büyük kuramcısı Gaspard Monge (1746-1818), bütün XIX. yy. matematikçilerinin eşsiz ustasıdır.
21 Aralık 2006
Matematiğin amacı; insanların doğuştan getirdiği düşünme kabiliyetini geliştirmektir. Bu gelişmeyi sağlamak için, bizlere bir kısım bilgiler kazandırarak karşılaşacağımız olay ve problemlerde inceleme, araştırma ve karşılaştırmalar yaptırarak, düzenli ve dikkatli olmamızı, mantıklı düşünmemizi ve her konuda doğruyu bulmamızı sağlar. Problemleri çözerken değişik bağlantıları bulmak insana heyecan verir. Böylece insanda yeni şeyler bulma arzusu doğar.
Bütün bilimlerin doğması ve gelişmesi insandaki bu arzudan doğmuş bu da matematik yardımıyla olmuştur. Bu sebeple bütün bilim dallarında matematikten yararlanılır. Matematik nitelikleri değil nicelikleri konu edinir, fakat niteliği bulunan herşeyin sayılabilir ve ölçülebilir olması, matematiğin fen bilimleri ve teknolojinin yanında değil sosyal bilimlerde de vazgeçilmez olmasını sağlamıştır. Bu yüzden matematik her öğrencinin öğrenmesi gereken bir bilimdir. Ezberciliğe dayalı bilgi aktarımının esas alındığı geleneksel eğitim, günümüzde çocukların zihnini körelten bir mekanizma haline gelmiştir. Okulun asli görevi, çocuklara nasıl öğrenileceğini öğretmektir. Bugün okullarda yeni bilgi ile mevcut bilgiyi bütünleştirerek anlama, sentez yapabilme, bilgileri yorumlayabilme gibi beceriler değil; bilgiyi kitaptaki gibi öğrenme ve ezberleme gibi etkinliklere yer verilmektedir. Bunun sonucu olarak öğrencilerimizin çoğunluğu matematiğin gerçek manasını anlayamamakta ve “matematiği niçin öğreniyoruz?”, “bu dersin bana faydası nedir?”, günlük hayatta uygulaması nasıl oluyor?” gibi ifadeler kullanmaktadırlar. İnsanlığın gelişmesine paralel olarak bilimde ve teknikte hızlı ilerlemeler olmuştur.
Zamanla gelişen ticaret ilişkileri sonucu para, ölçü, zaman, alan, hacim vb. gibi kavramlar ortaya çıkmıştır. Fizik, kimya, biyoloji, mühendislik, astronomi, ekonomi ve psikoloji gibi bütün bilim dalları esaslarını geliştirmek ve sonuçlandırmak için matematiğin temel kurallarına uymak zorundadırlar. Bilim adamları, binlerce bilgiyi küçük bir bilgisayara programlama ve istenildiğinde bilgilere anında ulaşmada matematiğin gücünden faydalanırlar. İnsanlar günlük hayatlarında ihtiyaçlarını karşılarken matematik ve öteki bilimlerden faydalanırlar. Matematik bilimi insanda sistemli ve doğru düşünme yeteneğini geliştirmeyi amaçlar. O halde matematik, farkına varmasak da hayatımızın her aşamasında yer almaktadır. Matematik küçük yaşlarda verilen iyi bir temel bilgiyle öğrenilir, fakat bu demek değildir ki matematik ileriki yaşlarda da öğrenilmesin. Bu süreç ne kadar geciktirilirse öğrenme de o kadar zor olacaktır. Temel problem de buradan kaynaklanmaktadır. Öğrencilerimizin büyük çoğunluğu temel bilgileri zamanında alamadığından matematik hakkında önyargıya kapılıp, bu dersin zor olduğunu ve öğrenilemeyeceğini düşünmektedir. Temeli olmasa dahi matematik belirli bir düzeyde herkes tarafından öğrenilebilir. Bunun için ilk şart, matematiğin öğrenilebilirliğini kabul etmek ve o ders hakkındaki önyargıları bir kenara bırakmaktır. Matematiği öğrenmede öğretmenin rolü çok önemlidir. Bu dersi sevdirmek ve öğrenciyi belli bir düzeye getirmek öğretmenin görevidir, fakat unutulmamalıdır ki öğrenmede aktif olan, öğrenci olmalı ve herşeyi öğretmenden beklememelidir. Öğrenci kendisini ne kadar zorlar ve öğretmeni sadece yol gösterici olarak görür ve o yolda kendisinin ilerlemesi gerektiğini bilirse sonuca da o kadar çabuk ulaşır. Aksi taktirde öğretmenin ön plana çıktığı durumlarda öğretmen olmayınca öğrenme ve ilerleme de olmayacaktır. Genelde öğrenciler kolaycılığa kaçarak her şeyin çözümünü öğretmenden beklemekte, öğretmenin anlattıklarını anlamakla sonuca ulaşabileceğini zannetmektedirler. Halbuki anlamak ile yapmak çok farklı şeylerdir. Bir problemi çözebilmek için önce o konu problem tipleri hakkında belli bir bilgi birikimine ihtiyaç vardır. O birikimi oluşturmadan çözülen sorular anlaşılsa dahi başka problemleri yapmada güçlük çekilecektir. Bu durum kişinin kendisini kandırmasıdır, soruyu algıladığını zannetmesidir. Bilgi beyne gitmiştir, fakat kalıcı olmamıştır. O yüzden konunun kalıcı olmasını ve problem tiplerinin beyne yerleşmesini sağlamak gerekmektedir. Bunu yapmak için de öğretmenin yaptığı çözümlü örneklerin tekrar tekrar incelenmesi, bıkmadan usanmadan soruların çözümlerine önce bakarak sonra cevabı kapatarak bir kez daha çözülmeleri gerekmektedir. Bu yöntem uygulanırsa artık o konu hakkında beynimizde belli bir birikim sağlanacak, artık başka sorular da yapılabilecektir. Değişik sorular çözerken öncelikle basit sorulardan başlanmalı konunun iyice pekişmesi sağlanmalıdır. Bir soru çözülemiyorsa pes edilmemeli, tekrar tekrar çözmeye uğraşılmalıdır. Unutulmamalıdır ki çözümüne zor ulaşılan sorular veya uğraşmanıza rağmen çözülemeyen sorular size çok şey katacaktır. Siz farkında olmadan konunun genel tekrarını yapmakta değişik durumları düşünerek bilgilerinizi sağlamlaştırmaktasınızdır. Son noktada yine çözülemeyen sorular soruyu çözen arkadaşlarınızla irtibata geçerek çözümlenmelidir. Hiçbir arkadaşınız çözememiş ise artık bu soru için öğretmeninize başvurabilirsiniz. Bu şekildeki bir çaba sizin hazırcı olmadığınızı göstererek gayretinizi ortaya koyacak ve kendinize güven duymanızı sağlayacaktır. Öğrencilerin en büyük problemlerinden bir tanesi de unutma olayıdır. Temeli sağlam olmayan bir öğrenci, bir konuyu öğrense dahi çalışmaya ara verir, geri besleme yapmazsa o konuyu çok çabuk unutacaktır. Bu yüzden her konuyu gündeminizden eksik etmeyin ve geri besleme yaparak muhakkak konularla ilgili tekrar örnekleri yapın. ÖSS de matematikten gelen sorular LİSE 1 ağırlıklı olup, temel konuları kapsamaktadır. Bu sınav sisteminde, bilgiden ziyade bilgiyi yorumlama ve temel kavramlar üzerinde durulmaktadır. Bu sebeple konuları belirli düzeyde öğrenir, konuların temel problem tiplerini kavrar ve bu öğrendiklerinizi unutmazsanız, sınavda başarılı olmanız mümkün değildir. Temeli iyi olan öğrenciler soru hazinelerini artırmak için daha çok pratik yapmalıdırlar. Temeli iyi olmayan öğrenciler ise ilk önce çok soru çözmek yerine belirli konularda belirli soru tiplerini öğrenmeli, daha sonra değişik soru çözümlerine başlamalıdırlar. Matematik dersini ne kadar sever ve ne kadar çok ilgilenirseniz başarı o kadar çabuk gelir. Unutmayınız ki matematiğin size çok şey katacağını kabul etmeniz, başarılı olmanızda ilk adım olacaktır. Düşünen ve araştıran bir insan olmanız temennisiyle…
26 Ekim 2006